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Hat man den mittleren Verlauf einer Zeitreihe beschrieben, so stellt sich
die Frage, ob man auch Strukturen in der Abweichung von diesem Verlauf
finden kann. Dabei steht man vor dem Problem, daß man nicht die Abweichungen
an sich analysieren kann, da diese um den mittleren Verlauf zentriert sind.
Es bietet sich deshalb an den Betrag oder das Quadrat der Abweichungen als
Variable zu verwenden. Beides führt zu Variablen, die bei weitem nicht
Gauß-verteilt sind. Mittelt man über mehrere benachbarte Werte der
Abweichungsquadrate so erhält man eine -Verteilung deren Anzahl
der Freiheitsgrade gleich der Anzahl der Werte ist, über die gemittelt wurde.
Es wurde gezeigt, daß diese Variable (die Varianz) nicht geeignet ist für
zeitlich gleitende Analysen, da man über vergleichsweise große Zeiträume
mitteln müßte. Die Wurzel dieser Größe führt uns aber zur -verteilten
Standardabweichung, die wesentlich schneller gegen eine Gauß-Verteilung
konvergiert und damit für zeitlich gleitende Analysen mit der Methode der
kleinsten Quadrate hervorragend geeignet ist. Damit konnte die minimal
notwendige Fensterbreite in Abhängigkeit von der Zeitreihenlänge
angegeben werden. Dies führt auf eine sehr einfache lineare Gleichung, die
zeigt, daß z.B.
zur Analyse der Variabilität einer Zeitreihe von 100 Werten eine
Analyse der Zeitreihe der Standardabweichungen von jeweils vier Werten
ausreicht. Ein verblüffend einfaches und angenehmes Ergebnis.
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ich
2000-01-25