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Die Matrix stellt Punkte im -dimensionalen Raum dar. Jeder Punkt
ist dabei ein Zeitpunkt (man könnte das durchaus auch umgekehrt definieren).
In dem -dimensionalen Raum kann
durch die Basisvektoren
eine beliebige Basis definiert werden.
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(13) |
ist dann die Projektion der durch beschriebenen Punktwolke in die
Richtung von . Als Streuung (Scatter) in Richtung von
bezeichnet man dann
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(14) |
Das ist mal die Varianz der Projektion der Punktwolke auf die Achse
mit der Richtung . Gleichung (14) kann leicht umgeformt
werden zu
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(15) |
Der Term in den eckigen Klammern in Glg. (15) ist die Streu-
bzw. Scattermatrix. Sie ist mal die Kovarianzmatrix. Für die Elemente
der Scattermatrix gilt:
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(16) |
In Matrixschreibweise bedeutet dies:
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(17) |
Die Eigenwerte der Streumatrix sind dann gegeben durch
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(18) |
Das zu lösende Gleichungssystem ist demnach
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(19) |
Mit den Matrixdarstellungen
und
und
folgt die
Matrixnotation:
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(20) |
Nun kann man die Punktwolke im Eigenvektorsystem ausdrücken. Dann ist
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(21) |
Dabei sind die Amplitudenvektoren die PC-Zeitreihen
.
Damit folgt
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(22) |
Die Einführung neuer normalisierter Amplituden
führt zu der
Singular-Value-Decomposition:
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(23) |
mit der Matrixschreibweise
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(24) |
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ich
2000-01-24