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Um die Transformationsbeziehung für die Verteilungen zweier funktional
voneinander abhängigen Zufallsvariablen herzuleiten, gehen wir von
einer Zufallsvariable aus, die über eine bijektive Funktion von
der Zufallsvariable abhängt. Die Bijektivität ist dabei eine
notwendige Bedingung, um eine eindeutige umgekehrte Funktion
angeben zu können2.
Ziel ist es nun aus der Kenntnis der
Funktion und der Wahrscheinlichkeitsdichte der Variable
auf die Wahrscheinlichkeitsdichte der Variable zu
schließen. Für die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der beiden Variablen
soll gelten
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(1) |
Das bedeutet, daß es zu jedem Wert einen Wert gibt, so daß
die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Variable einen Wert kleiner als
annimmt, gleich der Wahrscheinlichkeit ist, daß die Variable einen
Wert kleiner annimmt. Um die Wahrscheinlichkeitsdichte von zu
erhalten, wird Gleichung (1) nun nach abgeleitet. Man erhält
nach der Kettenregel
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(2) |
Mit Hilfe dieser Gleichung ist es möglich, aus der Kenntnis der funktionalen
Abhängigkeit einer Variablen von einer Variablen und der
Wahrscheinlichkeitsdichte der Variablen , auf die Wahrscheinlichkeitsdichte
der Variablen zu schließen.
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ich
2000-01-25